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10° Plan de clase | Matemáticas | Secundaria | Razones trigonometricas

plan de clase matemáticas
Grado décimo - Plan de clase

Objetivo.

Definir las relaciones trigonométricas y aplicarlas en la solución de problemas.

 

 Razones trigonométricas Plan de claseEstándares

 

Pensamiento espacial

 

  • Encontrar las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
  • Resolver problemas en donde se requiere de razones trigonométricas

Pensamiento métrico

  • Encontrar las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y de sus ángulos, dados algunos de sus elementos.

 

Procesos
Comunicación, resolución de problemas, conexiones, razonamiento lógico.
Estos procesos contemplan aspectos como:

Comunicación: Utilizar adecuadamente el lenguaje matemático para expresar de manera coherente y clara ideas matemáticas.
Expresar de manera precisa y organizada la información.
Resolución de problemas: Formular y resolver problemas.
Diseñar estrategias para resolver problemas.
Construir y constatar las soluciones obtenidas en un problema.

Razonamiento lógico: Tomar decisiones de acuerdo a ciertas condiciones dadas.
Justificar los razonamientos y respuestas dados en una situación determinada.
Demostrar proposiciones matemáticas.
Conexiones: Utilizar las ideas matemáticas en la solución de situaciones cotidianas.
Relacionar ideas matemáticas para aplicarlas en la solución de situaciones dentro de las mismas matemáticas y en contextos diversos.

Competencias a desarrollar

  • Interpretativa: Encuentra las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
  • Argumentativa: Soluciona triángulos rectángulos
  • Propositiva: Resuelve diversas situaciones con la solución de triángulos rectángulos.

Logro
Define las seis razones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo.

Resumen
La solución de triángulos rectángulos tiene una gama amplia de aplicaciones en situaciones de la vida diaria. Es importante que los estudiantes manejen con propiedad los elementos de un triángulo rectángulo, el concepto de razón y que comiencen a utilizar la calculadora para hallar diversos valores. También se debe constatar que diferencian con facilidad el lado opuesto, la hipotenusa y el lado adyacente dado un ángulo.
La historia de la trigonometría brinda herramientas de aprendizaje y de comprensión del proceso que ésta ha tenido. Es recomendable buscar una corta reseña histórica y compartirla con los estudiantes.

Materiales

  • Cuaderno
  • lápiz
  • regla
  • escuadra
  • borrador
  • textosalculadora.

Duración
5-6 horas

DESARROLLO

PRIMERA CLASE

Introducción del tema

Comience la clase recordando algunos conceptos y ejemplificando cuando sea necesario.
Pregunte a los estudiantes ¿qué es un triángulo rectángulo?

  • ¿Qué han estudiado en cursos anteriores sobre esta clase de triángulos?
  • ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un triángulo?
  • ¿Qué es una razón?

Dibujen 3 triángulos rectángulos diferentes.

 

Después de hacer este sondeo y de escuchar las respuestas de los estudiantes, realice varios ejercicios en donde tengan que reconocer el lado adyacente, la hipotenusa y el lado opuesto. También es importante darle los nombres adecuados a cada parte del triángulo. Por ejemplo:

 Razones trigonométricas

 

Hágales observar que los vértices se nombran con letras mayúsculas y el lado opuesto con la minúscula que le corresponde a ese vértice. Los ángulos pueden nombrarse con la letra del vértice o con las letras griegas , etc.

Haga el ejercicio de preguntar lado adyacente, opuesto e hipotenusa en cada caso.

Para el triángulo ABC

Hipotenusa c
Lado adyacente al ángulo B, a
Lado adyacente al ángulo A, b
Lado opuesto al ángulo B, b
Lado opuesto al ángulo A, a

Realice estas mismas preguntas para los otros dos triángulos.

Luego pídales que escriban el teorema de Pitágoras en cada caso:

a2+b2=c2 Para el triángulo ABC

Desarrollo del tema

Dibuje un triángulo rectángulo y señale sus elementos:

 

 Razones trigonométricas
Definición:

Los cocientes entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, se denominan razones trigonométricas. Cada una recibe un nombre especial. Observemos en el caso del ángulo α

 Razones trigonométricas

Realice varios ejercicios donde tengan que calcular las razones trigonométricas, pueden utilizar la calculadora.

Es bueno que antes de utilizarla les haga reconocerla, localizar las teclas de Sen, Cos y Tan y la de grados, minutos y segundos.

Haga primeros algunos ejercicios como hallar el Seno 30º , Cos 60º , Tan 40º etc.

 Razones trigonométricas

SEGUNDA CLASE

 

Retome los ejemplos dados en la clase anterior y explíqueles cómo hallar el valor de los ángulos:
Para el triángulo DFE:
Calculemos el ángulo F, podemos utilizar cualquiera de las razones, pero como en la calculadora están dadas Sen, Cos y Tan estas son más rápidas de trabajar:

 

Así como Sen  , para hallar el valor de F, se oprime en la calculadora SHIFT o 2nd que indica la función inversa en la calculadora. Aparecerá Sen -1 y anotamos el cociente teniendo cuidado de utilizar los paréntesis (3 ÷ 5) y al resultado aplicamos la tecla ...,  que expresa el resultado en grados, minutos y segundos.

Así Sen (3 ÷ 5)= 36,86989765=36´| 52 11,63´´

 Razones trigonométricas
Durante esta sesión puede realizar la siguiente evaluación de lo trabajado hasta el momento.

Evaluación.

 

Hoja de Trabajo
TALLER DE COMPETENCIAS

En una hoja de trabajo se pueden colocar estos ejercicios para resolverlos de manera individual y luego hacer la puesta en común y las correcciones correspondientes:

 

Para el profesor: Es bueno ubicar cada ejercicio propuesto de acuerdo a la Competencia y al Proceso que se trabajan en éste, por eso en cada ejercicio aparecerán estos datos, pero básicamente son para que el profesor lo tenga en cuenta y no necesariamente deben estar en la hoja de trabajo de los estudiantes.
(P. Comunicación- C. Interpretativa)

1. Encuentra el valor que de la incógnita:

 Razones trigonométricas

2. Halla los valores de las 5 razones trigonométricas que faltan en cada caso:

 Razones trigonométricas

3. Solucionar un triángulo rectángulo es hallar el valor de las longitudes de sus lados, la medida de sus tres ángulos, su perímetro y su área.

 

Soluciona los siguientes triángulos:

  1. Tiene un ángulo de 40º y su cateto adyacente es de 5 cm
  2. Tiene un ángulo de 33º y su cateto opuesto es de 23 cm
  3. La hipotenusa mide 67 cm y uno de los catetos 43 cm

4. Utiliza la calculadora para hallar:

 

Profundización.

Desarrolle varios problemas de aplicación como ejemplos.

1. Una escalera de 3,2 m de longitud se recuesta sobre una pared formando con el piso un ángulo de 38º. ¿Cuánto mide la pared?
Realice el dibujo de la situación.

Pregunte a los estudiantes:

 

  • ¿Qué datos da el problema?. Un ángulo y la hipotenusa
  • ¿Qué dato me pregunta? Un cateto
  • ¿Qué relación tiene el cateto que piden con el ángulo dado? Es el opuesto
  • ¿Qué razón trigonométrica relaciona los datos dados con los pedidos?

 

El seno
Así Sen 38º =  , despejando x de esta proporción se obtiene:

 

X=3,2 Sen 38º. Haga el cálculo con los estudiantes y pida la respuesta al problema. La pared mide 1,97 m aproximadamente.

2. Una persona observa sobre un muro de 2m el asta de una bandera de 5 m de longitud con un ángulo de elevación de 18º. ¿Cuál es la distancia de la persona al muro en donde está la bandera?

 

Realice el dibujo de la situación.

 

Pregunte a los estudiantes:

  • ¿Qué datos da el problema?. Un ángulo y un cateto de 7m
  • ¿Qué dato me pregunta? Un cateto
  • ¿Qué relación tiene el cateto que piden con el ángulo dado? Es el adyacente
  • ¿Qué razón trigonométrica relaciona los datos dados con los pedidos?

La tangente.

 

Así Tan 40º =  , despejando x de esta proporción se obtiene:

. Haga el cálculo con los estudiantes y pida la respuesta al problema. Está aproximadamente a 8,34 m.

3. Explique ángulo de elevación y depresión.

Una persona se observa desde la azotea de un edificio a una altura de 120m, con un ángulo de depresión de 38º. ¿A qué distancia está el observador de la persona?

Pregunte a los estudiantes:

 

  • ¿Qué datos da el problema?. El ángulo de depresión y un cateto
  • ¿Qué dato me pregunta? La hipotenusa
  • ¿Qué relación tiene el ángulo con el de depresión? Son complementarios
  • ¿Qué razón trigonométrica relaciona los datos dados con los pedidos?

El coseno

 

Así Cos 52º =  despejando x de esta proporción se obtiene:

Haga el cálculo con los estudiantes y pida la respuesta al problema. Está aproximadamente 129,94 m de distancia.

 

Luego realice las siguientes actividades para profundizar en el tema

 

 

TRABAJO POR PAREJAS
TALLER DE COMPETENCIAS

Para el profesor: Es bueno ubicar cada ejercicio propuesto de acuerdo a la Competencia y al Proceso que se trabajan en éste, por eso en cada ejercicio aparecerán estos datos, pero básicamente son para que el profesor lo tenga en cuenta y no necesariamente deben estar en la hoja de trabajo de los estudiantes. Se puede trabajar por parejas o individualmente de acuerdo al criterio del profesor:

(P. Resolución de problemas- C. Propositiva)

  • Una persona observa un árbol a 4m de distancia con un ángulo de elevación de 35º 25´. ¿Cuál es la altura del árbol?
  • La punta de un edificio de 24 m se observa con un ángulo de elevación de 25º . ¿Qué sombra proyecta?
  • ¿Con qué ángulo de depresión se observa un auto que está a una distancia de 200 m de una torre de 80m?

Bibliografía.

Conexiones 10.
Alfa 10

Palabras clave.

 

Razón trigonométrica: cociente entre dos de los lados de un triángulo rectángulo
Sen α = Razón entre la longitud del cateto opuesto al ángulo y la longitud hipotenusa
Cos α = Razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud de la hipotenusa
Tan α = Razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente


 

Recursos asociados.

Otros textos de 8 que se encuentra en la dirección
www.norma.com/MATEMÁTICAS y consultar el material COMPETENCIAS EN PROCESOS.

 

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